Mettete i porcini secchi in una ciotola in acqua tiepida per circa 30 minuti.

Lessate le patate con tutta la buccia in abbondante acqua fredda non salata per circa 25 minuti. Quando saranno cotte, scolate e lasciatele raffreddare. Pelate e rimuovete tutte le impurità dalla superficie.

Schiacciate le patate fino ad ottenere una purea omogenea, aggiustate di sale. Mescolate. Su una spianatoia, unite la farina e l'uovo. Cominciate ad impastare con le mani aiutandovi con dell'ulteriore farina fino ad ottenere un impasto morbido ma compatto.

Con l'aiuto di un tagliapasta ricavate piccole dosi di impasto. Stendete ciascuna dose con le mani fino ad ottenere dei filoncini spessi 2 centimetri dai quali poi ritaglierete tanti tronchetti. Lasciate riposare gli gnocchi.

Aggiungete un filo di olio in una padella e preparate un soffritto con un trito di carota, aglio e prezzemolo. Unite i porcini ben strizzati. Mescolate e soffriggete. Aggiungete i pomodori a pezzi e la salsa. Cucinate per 10 minuti, poi aggiungete le olive. Quando il condimento si sarà un asciugato, sarà pronto per condire gli gnocchi.